Vorlesungen über Zahlentheorie

Zusatztext

Die drei Vorlesungen fiber Zahlentheorie, Determinantentheorie und Algebra bildeten den Hauptbestandteil der akademischen Vortrage Leopold Kroneckers an der Berliner Universitat, und ebenso hat sich seine wissenschaftliche Lebensarbeit zum grofsen Theile in diesen drei Gebieten bewegt. Schon in seiner Antrittsrede in der Berliner Akademie der Wissen­ schaften sprach er aus, wie sehr ihn gerade diejenigen. Probleme resselten, welche der Arithmetik undder Algebra gemeint!am sind, und je weiter er selbst schaffend in seiner Wissenschaft vordrang, desto deutlicher wurde ihm der enge Zusammenhang zwischen diesen beiden grorsen Disziplinen und die Notwendigkeit, sie aus den ,gleichen Ge­ sichtspunkten zu behandeln. So wurde auch bei jeder Wiederholung die Verbindung zwischen jenen drei V orlesungen eine engere, und zu­ letzt empfand er es als innere Notwendigkeit, sie in einen Cyklus 'zu vereinigen, dem er den zusammenfassenden Namen "Dber allgemeine U Arithmetik gab. In seinen V orlesungen wollteKronecker eine Darstellung jener Disziplinen gaben, welche aUe wesentlichen gesicherten Ergebnisse der Forschung bis zur Gegenwart zu einem einheitlichen organisch geglie­ derten Ganzen, zusammenfafst. So ergab sich mit N otwendigkeit eine Anordnung des Stoffes, welche in vielen Fallen von der durch die historische Entwickelung bedingten wesentlich verschieden war. Be­ sonders ,mufsten die Prinzipien, welche im neunzehnten Jahrhundert erst spater fur die Wissenscha. ft bestimmend hinzutraten, schon im An­ fange entwickelt werden, wohin, sie ihrer Natur und Bedeutung nach gehorten, wiihrendsiesonst vielfach erst dann hinzugezogen wurden, wenn die aus' Ihnen abzuleitenden Folgerungen dargesteUt werden sollten.

Autorenportrait

Inhaltsangabedes ersten Bandes.- Erste Vorlesung.- Alter, Begründung und Abgrenzung der Arithmetik. - Geschichte der Arithmetik. Die orientalischen Völker. Die Arithmetik bei den Griechen. - Euklid. Die Elemente. Vollkommene Zahlen. Anzahl aller Primzahlen. Jede arithmetische Reihe enthält unendlich viele Primzahlen. - Diophant. Theon. Hypatia. - Die Araber. Die arabischen Ziffern.- Zweite Vorlesung.- Niedergang der Wissenschaft8n im Mittelalter. - Die Arithmetik im siebzehnten und achtzehnten Jahrhundert. - Fermat und einige von seinen Sätzen. - Beweis des sog. kleinen Fermatschen Satzes. - Die Polygonalzahlen. - Der sog. grofse Fermatsche Satz: Die Gleichung xn+yn = zn ist nur für n = 2 in ganzen Zahlen lösbar. - Euler; sein Leben und einige seiner arithmetischen Arbeiten. - Die vollkommenen und die befreundeten Zahlen. - Diophantische Probleme. - Eulers Lösung des Fermatschen Problemes in den Fällen n = 2 und n = 4. - Die Pellsche Gleichung. - Das Reciprocitätsgesetz. - Legendre und sein Essai sur la théorie des nombres.- Dritte Vorlesung.- Die beiden Hauptrichtungen der Arithmetik im neunzehnten Jahrhundert. - Gauss und der systematische Aufbau der Arithmetik in den disquisitiones arithmeticae. - Inhaltsübersicht. - Das Problem der Kreisteilung. - Dirichlet, Jacobi, Kummer. - Theorie der algebraischen Zahlen; arithmetische Behandlung dieses Problemes. - Dirichlet und die Anwendung der Analysis auf Probleme der Zahlentheorie. - Beispiele: Die Binomiásl- und Polynomialkoefficienten sind ganze Zahlen. - Einige Untersuchungen Eulers aus diesem Gebiete.- Erster Teil. Teilbarkeit und Kongruenz im Gebiete der Zahlen.- Vierte Vorlesung.- Systematische Arithmetik. - Der Zahlbegriff. - Die Ordnungszahlen. - Die Kardinalzahlen. - Der Begriff der Anzahl. - Addition. - Vertauschbarkeit der Summanden. - Die Multiplikation. - Vertauschbarkeit der Faktoren eines Produktes.- Fünfte Vorlesung.- Die Dekomposition der Zahlen. - Bestimmung der Teiler einer Zahl. - Die Anzahl der auszuführenden Operationen ist endlich. - Aufstellung aller Teiler einer Zahl. - Die Primzahlen. - Elementare Eigenschaften der Primzahlen. - Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren. - Beweis der Eindeutigkeit jener Zerlegung.- Sechste Vorlesung.- Darstellung der ganzen Zahlen durch ihre Exponentensysteme. - Die Teilbarkeit einer Zahl durch eine andere. - Die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen und ihr gröfster gemeinsamer Teiler. - Teiler-fremde Zahlen. - Die gemeinsamen Multipla zweier Zahlen und ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. - Ausdehnung auf beliebig viele Zahlen. - Hauptsätze über die Teilbarkeit der ganzen Zahlen. - Die Summe der nten Potenzen aller Divisoren einer Zahl.- Siebente Vorlesung.- Die Kongruenz der Zahlen. - Kongruenz und Äquivalenz. - Die Grundregeln für das Rechnen mit Kongruenzen. - Kongruenzen für einen Primzahlmodul. - Anwendungen.- Achte Vorlesung.- Die höheren Kongruenzen. - Aufsuchung ihrer Wurzeln. - Hauptsätze über die höheren Kongruenzen. - Anzahl der Wurzeln einer Kongruenz. - Kongruenzen für einen Primzahlmodul. - Anwendungen: Der Wilsonsche und der Fermatscho Satz.- Neunte Vorlesung.- Lineare Kongruenzen. Bedingung für ihre Auflösbarkeit. Anzahl ihrer Wurzeln. - Auflösung der linearen Kongruenzen; erste Me- thode: Reduktion auf lineare Kongruenzen für einen Primzahlmodul. - Die Einheiten modulo p. - Beweis des Wilsonschen Satzes. - Zweite Auflösungsmethode mit Hülfe der Theorie der Kettenbrüche.- Zehnte Vorlesung.- Anwendung der Theorie der linearen Kongruenzen. - Die Einheiten und die Teiler der Null für einen zusammengesetzten Modul m. - Die Anzahl ? (m) der. Einheiten modulo m. - Die Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes. - Bestimmung der Zahl ? (m). - Die Ver. allgemeinerung des Wilsonschen Satzes.- Elfte Vorlesung.- Die Invarianten der Kongruenz. - Arithmetische und analytische Invarianten. - Jede Invariante der Kongruenz ist eine symmetrische Funktion aller kongruenten Zahlen. - Arithmetische Untersuchung der Fundamentalinvariante der

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